통계학 개론 정리 03. 변수 추론

◎ 모평균 추론

 

○ t 분포 : "σ를 알지 못할 때" 사용. $ t = \frac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n}} $, 자유도(df) : $n-1$

                  자유도가 증가할수록 $N(0,1)$에 근접.

• t 신뢰구간 : $\bar{x} \pm t^{*} \frac{s}{\sqrt{n}} $
• 단수표본 t 검정 : $ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} $ ($H_0 : \mu = \mu_0 $)

○ 짝을 이룬 쌍 t 절차(pairwise t) : $X_2 - X_1 \sim (\mu_2 - \mu_1, \sigma^2) $

• t 절차 사용 :
  • n < 15 : 자료가 거의 정규분포이면 t 절차 사용 O / 명백하게 한 쪽으로 기울었거나 이탈값이 존재한다면 t 절차 사용 X
  • 15 ≤ n < 40 : 자료가 명백하게 한 쪽으로 기울었거나 이탈값이 존재하지 않으면 t 절차 사용 O
  • n ≥ 40 : 자료가 명백하게 한 쪽으로 기울어진 분포에 대해서도 t 절차 사용 O

 

◎ 복수 표본

 

○ 두 개 모평균 비교

 

● 조건

• ① 두 개의 단순 무작위 표본. 표본들은 독립적
• ② 두 개 모집단은 정규분포 (실제로는 유사한 분포 & 강한 이탈값을 갖지 않는 것으로 충분)

 

○ 복수표본 t 절차

• 신뢰구간 : $(\bar{x_1} - \bar{x_2}) \pm t^{*} \sqrt{ \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} }$
• t 통계량 : $ t = \frac{\bar{x_1} - \bar{x_2}}{ \sqrt{ \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} } } $
• 자유도 : $min(n_1 - 1, n_2 - 1)$ or $\frac{ \left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right )}{ \frac{1}{n-1} (\frac{s_1^2}{n_1})^2 + \frac{1}{n-1}(\frac{s_2^2}{n_2})^2 } $

 

◎ 모비율 추론

 

○ 표본 비율(sample proportion) : $\hat {p} = \frac{\text{표본에서의 성공 횟수}}{n} $

• 표본분포 평균 : $p$
• 표본분포 표준편차 : $\sqrt{ \frac{p(1-p)}{n} } $
• $n$이 클 경우 : $\hat{p} \sim N \left(p, \sqrt{ \frac{p(1-p)}{n} } \right) $
  
  • $n$이 작은 경우 '플러스 4 방법' : $ \hat{p} = \frac{\text{표본에서의 성공 횟수}}{n + 4} $
• 모비율에 대한 신뢰구간 : $ \hat{p} \pm Z^{*} \sqrt{ \frac{\hat{p}(1- \hat{p})}{n} } $
• p에 대한 오차한계 : $m = Z^{*} \sqrt { \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} } $
  • 바라는 오차한계를 구하기 위한 표본 크기 $n = \left( \frac{Z^{*}}{m} \right)^2 p^{*}(1-p^{*}) $
• 비율 유의성 검정 : $Z = \frac{\hat{p} - p_0}{ \sqrt{ \frac{p_0 (1-p_0)}{n} } } $

 

◎ 복수표본 비율 비교

 

○ 두 개 비율 비교

• 신뢰구간 : $(\hat{p_1} - \hat{p_2}) \pm Z^{*} \sqrt{ \frac{\hat{p_1} (1-\hat{p_1}) }{n_1} + \frac{\hat{p_2} (1-\hat{p_2}) }{n_2}  }$
• Z 통계량 : $ \frac{ \hat{p_1} - \hat{p_2} }{ \sqrt{ \hat{p} (1- \hat{p}) ( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} ) } } $. ($\hat{p}$ : 공동 비율)